RELACIONES BINARIAS

Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas formas:

1. Como pares ordenados (a, b). 
2. Indicando que aRb. 
3. Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).

Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M). Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto. 

 

 

EJEMPLO:

Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplotal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.
 

OBSERVACION: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un subconjunto del producto cartesiano AxB.
 

 

FORMAS DE REPRESENTACIÓN

Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos: 

• EL DIAGRAMA CARTESIANO: donde representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto. Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas.

• DIAGRAMA SAGITAL O FLECHAS (mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y representaremos las relaciones mediante flechas.

Ejemplo: Representar la siguiente relación:
 

R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)} 

a) Lo representaremos en primer lugar utilizando el diagrama cartesiano, en este caso utilizando la cuadrícula:

b) Utilizando el diagrama sagital, (la punta de la flecha indica la dirección de la relación):

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS

Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades (no tienen porque cumplir todas, pueden cumplir sólo algunas e incluso ninguna). Dado el conjunto M, y una relación R sobre el conjunto MxM. 

1. PROPIEDAD REFLEXIVA: Esta propiedad se da cuando todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:     Para todo elemento de M x, entonces → xRx.
   
   
2. PROPIEDA SIMÉTRICA: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto M se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces se cumple también la relación al contrario, es decir, el segundo está relacionado con el primero: si xRy → yRx.
   
3. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA: Dados dos elementos del conjunto si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces, el segundo no está relacionado con el primero: si xRy → y noR x.
4. PROPIEDAD TRANSITIVA: Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con el tercero: si xRy e yRz → xRz.
   
5. PROPIEDAD CONEXA: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto estos están relacionados. O bien xRy o bien yRx.

Dependiendo de las propiedades que cumpla una relación determinada, recibe un nombre u otro. Pero esta información la dejaremos para otro días, así como más ejemplos y comprobar estas propiedades. 

 

 

RELACION REFLEXIVA E IRREFLESIVA: 

   TEOREMA:

         Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 
Una relación A es:

REFLEXIVA: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

                               

IRREFLEXIVA: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

                               

 

 

RELACIÓN SIMÉTRICA, SIMETRICA, ANTISIMETRICA Y TRANSITIVA:

Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.
 

SIMETRICA:  Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento,el segundo tambien se relaciona con el primero, con simbolos:  

 

                                 (x ,y) ∈  R  ⇒  (y ,x) ∈ R

 

ASIMETRICA: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
 

Teorema:  Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

ANTISIMÉTRICA: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:                

                         ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y).

 

La antisimetría no es lo opuesto de la simetria.

 

TRANSITIVA: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero:

 

                       

 

EJEMPLO PARA TODAS LAS RELACIONES:

Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva:

 
EJEMPLO: Sea A = { a, b, c, d, e }

R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }
R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }
R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }
R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }
R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }
R7 ={ (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }Si observamos la figura 

podemos darnos cuenta que R3 y R6 son Reflexivas, y también podemos ver que R5 y R7 son Irreflexivas. 
De las relaciones anteriores R6 es simétrica, R3 y R5 son antisimetricas; R3, R4 y R5 son Transitivas. 

 

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Mariangel Aparicio

6:47

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