Una relación, de
los conjuntos es
un subconjunto del producto cartesiano, Una relación binaria es
una relación entre dos conjuntos.El concepto
de relación implica la idea de enumeración, de
algunos de los elementos, de los conjuntos que
forman tuplas.
Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la
relación son iguales,en
este caso se representa como ,
pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.
Definición matemática de Relación:
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Producto cartesiano:
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x∈A e y ∈ B.
En símbolos, A x B = {(x, y) / x∈A ∧ y ∈ B }
Por lo tanto : (x, y) ∈ A x B si y sólo si x∈A ∧ y ∈ B
Ejemplo:
Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene:
A x B={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}
El producto cartesiano A x B no es igual al producto cartesiano B x A (no es conmutativo)
PROPIEDADES DE LA RELACION:
En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,:
También puede expresarse: Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:
Propiedad
reflexiva:
Una relación tiene la
propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo, si no
todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que
la relación no es reflexiva.
Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva: Se escribe a R a ∀a∈A.
Ejemplo:
1) En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”
es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x
2) En N la relación R definida por:
“a R b ⇔ a es el doble de b”.
no es reflexiva ya que (1, 1) ∉R puesto que 1 no es el doble de 1
Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.
No existe ningún
elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no
pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son
iguales.
Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros.
Propiedad irreflexiva:
Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:
No existe ningún
elemento a en el conjunto A que cumpla
que: (a,a) pertenezca a R.
Propiedad simétrica:
No es transitiva ya que (4, 2) Î R y (2, 1) Î R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)Ï R
Propiedad R
|
Se satisface sii
|
No se satisface sii
|
Reflexiva
|
"aÎA a R a
|
$ aÎA (a,a)ÏR
|
Simétrica
|
" a, b ÎA:
a R b Þ b R a
|
$ a, b ÎA:
(a, b) Î R Ù (b, a) Ï R
|
Antisimétrica
|
" a, b ÎA:
[a R b Ù b R a] Þ a = b
|
$ a, b ÎA:
(a, b) Î R Ù (b, a) Î R Ù a ¹ b
|
Transitiva
|
" a, b, c ÎA:
[a R b Ù b R c] Þ a R c
|
$ a, b, c ÎA:
(a, b) Î R Ù (b, c) Î R Ù (a, c) Ï R
|
Relación inversa:
Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación, Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x ,y) ∈ R ⇒ (y ,x) ∈ R :
Para todo par
ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el
par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el
par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco
tiene que pertenecer a esa relación:
Teorema:
Una relación R es simétrica si y solo si los elementos
opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
1) En Z la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”.
es simétrica ya que si a R b ⇒ hay p∈Z tal que a – b = 2p ⇒ b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a
2) En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.
Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.
Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y) La antisimetría no es lo
si ∀ a, b ∈A: [a R b ∧ b R a] ⇒ a = b
Otra manera de expresarlo:
Si a≠b ⇒ [ (a,b) ∉ R ∨ (b,a) ∉ R ]
Ejemplo:
1) En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica
Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈N tales que:
b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒
n = m = 1 ⇒ a = b.
2) En Z la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”.
no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2≠4
Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma.
Transitiva:
Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:
Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:
1) En N
la relación R definida por:
“x R y Û x divide a y”
es transitiva ya que si a R b y b R
c entonces existen n, m ÎN tales que:
b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ÎN Þ b R c.
2) En N la relación R definida por: “a R b Û a es el doble de b”.
La relación R
es transitiva si cada vez que hay un
camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el
principio del camino y va al elemento
que es final del camino.
Asimetrica:
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Opuesto de la simetría.
Ejemplo
para todas las relaciones
Cuando
tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si
es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica,
Transitiva:
Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }
R1 = {
(a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }
R2 = {
(a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }
R3 = {
(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }
R4 = {
(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }
R5 = {
(a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }
R6 = {
( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }
R7 = {
(a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }
Sea R una
relación. Definimos la relación inversa de R y la
notamos R -1 , al conjunto con la siguiente propiedad:
Se llama relación inversa a la relación que resulta de cambiar el orden de los
conjuntos A x B por B x A
La relación inversa la designaremos por R −1
Ejemplo:
Sea R la relación definida por: G = {(a,1),(a,2),(b,3),(c,5)}
La relación inversa G-1 será: G-1= {(1,a),(2,a),(3,b),(5,c)}
Existe una relación inversa entre la suma y la resta
Si consideramos un hecho matemático, por ejemplo
3 + 7 = 10. Entonces los siguientes también son verdaderos:
10 - 3 = 7
10 - 7 = 3
Existen relaciones similares para la resta, por ejemplo:
10 – 3 = 7. Entonces las siguientes también son verdaderas:
3 + 7 = 10
7 + 3 = 10
La razón de esto es porque nos encontramos frente a una ecuación. Una ecuación es balanceada o igual a ambos lados del signo igual (=). Si se hace exactamente lo mismo a ambos lados de la ecuación, seguirá siendo balanceada o igual.
En el ejemplo anterior comenzamos con la ecuación 3 + 7 = 10
Resta el mismo número de ambos lados 3 + 7 - 3 = 10 - 3
En el lado izquierdo 3 – 3 resultan 0, lo que nos deja 7 = 10 – 3
Invierte los términos de la ecuación para presentarla de una manera más normal 10 – 3 = 7
Hay una relación inversa entre la multiplicación y la división.
La ecuación 45 ÷ 5 = 9 tiene las siguientes relaciones inversas:
5 * 9 = 45
9 * 5 = 45
Existen relaciones similares para la multiplicación. La ecuación 3 * 7 = 21 tiene las siguientes relaciones:
21 ÷ 3 = 7
21 ÷ 7 = 3
Sean R, S relaciones. Definimos “la relación compuesta de S y R” y la notamos , al conjunto con la siguiente propiedad:
Se dice que en A se ha definido una ley de composición interna u operación
cuando se define una Función del producto cartesiano A x A en A de tal forma que
el par de elementos (a, b) genere otro elemento c, tal que c también pertenece al
conjunto A.
Para representar el elemento imagen del par (a, b) se utiliza la notación c = a f b
donde f es cualquier símbolo. Por ejemplo ⋅ , ⊥ , ∗ , Θ , ° , ◊ , ∇
Se dice que en A se a definido una ley de composición externa sobre el conjunto B
cuando se define una Función del producto cartesiano BXA en A
Es una "generalización" de la composición de funciones. Básicamete es así:
aRb y bSc implican que aSRc
donde SR es la "composición" de las relaciones R y S en este orden.
Si lo quieres ver en notación de conjuntos sería así:
(a,b)∈R y (b,c)∈S implican que (a,c)∈ S·R
Relación de orden
Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcial si
satisface las tres propiedades:
‰ R es reflexiva
‰ R es antisimétrica
‰ R es transitiva
En este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado
Ejemplo:
1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por:
a R b ⇔ a divide a b.
2) En R, la relación definida por a R b ⇔ a ≤ b.
Demuestra que estas son relaciones de orden.
Diremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden total si es
una relación de orden parcial y además se satisface que:
∀ a, b ∈A: [a R b ∨ b R a]
En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado
Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcial si
‰ R es reflexiva
‰ R es antisimétrica
‰ R es transitiva
En este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado
Ejemplo:
1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por:
a R b ⇔ a divide a b.
2) En R, la relación definida por a R b ⇔ a ≤ b.
Demuestra que estas son relaciones de orden.
Diremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden total si es
una relación de orden parcial y además se satisface que:
∀ a, b ∈A: [a R b ∨ b R a]
En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado
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